Родился в 1965 году в Москве. Он окончил Московский ордена Ленина и ордена Октябрьской революции энергетический институт и Государственный университет – Высшую школу экономики. Свою трудовую деятельность Быкасов начал в МПО «Электрозавод» им. В.В.Куйбышева в Москве. С 1995 по 1996 годы он работал заместителем начальника управления-начальником отдела координации экспортной политики Управления внешнеэкономической деятельности комитета Российской Федерации по металлургии. Затем он был назначен начальником отдела развития экспорта Департамента развития внутреннего рынка и внешних связей Министерства промышленности РФ, а с мая 1997 года - заместителем начальника отдела товарных рынков средств производства Департамента анализа и прогнозирования товарных рынков Минэкономики России.
С сентября 1997 года по июль 1999 года Александр Быкасов работал в Министерстве топлива и энергетики РФ: заместителем начальника отдела международных инвестиционных проектов и международных организаций Департамента внешнеэкономической деятельности и привлечения инвестиций в отрасли ТЭК, заместителем начальника Департамента внешнеэкономической деятельности и привлечения инвестиций в отрасли ТЭК-начальником отдела международных инвестиционных проектов и международных организаций, советником Департамента внешнеэкономической деятельности и привлечения инвестиций в отрасли ТЭК.
В 1999 году Быкасова назначают заместителем руководителя Департамента–начальником отдела товарных рынков Департамента экономики металлургического комплекса Министерства экономики России. С 2000 года он - заместитель руководителя Департамента промышленной и инновационной политики в металлургии Министерства промышленности, науки и технологий РФ. С 2004 года – заместитель начальника Управления федерального имущества и научной сферы Федерального агентства по науке и инновациям. С 2006 года – заместитель начальника Управления имущества финансово-кредитных, внешнеэкономических организаций и зарубежной собственности Федерального агентства по управлению федеральным имуществом.